課程輔導(dǎo)內(nèi)容

測度理論 MAST90012

介紹了現(xiàn)代分析的概念框架，這一框架導(dǎo)致了對基本對象(如函數(shù))以及諸如連續(xù)性、可微性和可積性等概念的轉(zhuǎn)變和推廣。

它是許多數(shù)學(xué)和概率領(lǐng)域的基礎(chǔ)，并在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等其他領(lǐng)域也有應(yīng)用。學(xué)生將接觸到勒貝格積分理論的核心主題，以及抽象測度理論，特別是帶符號的測度、哈恩-約旦分解、拉東-尼科迪姆導(dǎo)數(shù)。附加主題可能包括概率論的基本知識(條件期望、博雷爾集合和測度)以及幾何分析(可整曲線、豪斯多夫測度和維度)。

微分拓?fù)?MAST90029

這門課程擴(kuò)展了微積分和線性代數(shù)的方法，用于研究高維空間的拓?fù)洹＿@些引入的概念在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中具有重要意義。本課程將涵蓋流形的微分拓?fù)涞幕静牧稀Ｖ黝}包括：光滑流形、切空間、反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理;微分形式、流形上的積分和 de Rham 上同調(diào);沉浸和纖維束;浸入和橫截性;來自李群和同質(zhì)空間的例子。附加主題可能包括：Morse 理論;交點(diǎn)理論;特征類和 Chern-Weil 理論;Thom 同構(gòu);邊界理論。

科學(xué)計(jì)算的藝術(shù) COMP90072

物理學(xué)、社會科學(xué)和工程科學(xué)廣泛使用數(shù)值模擬和圖形表示，將其理論基礎(chǔ)與實(shí)驗(yàn)或?qū)嵶C數(shù)據(jù)連接起來。這些方法通常由沒有正式計(jì)算訓(xùn)練的研究人員設(shè)計(jì)和實(shí)施，他們從各種來源獲得所需的技能。組裝計(jì)算工具以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)并有效利用可用計(jì)算資源是一門藝術(shù)。

本課程向?qū)W生介紹了在研究應(yīng)用中設(shè)計(jì)和構(gòu)建計(jì)算工具時常見的一系列技能：

將任務(wù)表述為一系列操作或過程，這些操作或過程以適合數(shù)字計(jì)算的形式表達(dá)分配問題的背景(例如Mathematica)。

使用適合數(shù)值密集型計(jì)算的計(jì)算機(jī)語言實(shí)現(xiàn)這一表述(例如C、C++、Fortran)。

將計(jì)算密集型任務(wù)模塊化，無論是作為用戶編寫的過程還是現(xiàn)有庫(例如BLAS、lapack)。

用文檔記錄代碼，解釋其設(shè)計(jì)、操作和局限性(例如LaTeX)。

對代碼進(jìn)行儀器化，以驗(yàn)證其正確操作并監(jiān)控其性能(例如gprof)。

優(yōu)化代碼，包括使用并行化(例如OpenMPI)。

使用圖形包或渲染引擎(例如Geomview、OpenGL)對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化。

通過圖形用戶界面(例如Python、Matlab)與代碼進(jìn)行交互。

這些技能通過完成一個短期項(xiàng)目向?qū)W生介紹，該項(xiàng)目將在與課程協(xié)調(diào)員協(xié)商后進(jìn)行選擇。

表示論 MAST90017

對稱性在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)為群的形式，而表示論則是通過群對向量空間的作用來研究群的學(xué)科。它在許多領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用：物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等。本課程將提供研究向量空間上作用的基本工具。課程將重點(diǎn)教授表示論的基礎(chǔ)知識，使用一些經(jīng)典例子：對稱群、圖代數(shù)、矩陣群、反射群。在每種情況下，將分析該群(或代數(shù))的不可約特征和不可約模，隨著課程的深入，逐步發(fā)展出更強(qiáng)大的工具。課程的核心內(nèi)容包括SL2、循環(huán)群和二面體群、圖代數(shù)(如Temperley-Lieb代數(shù))、對稱群和Hecke代數(shù)、Brauer和BMW代數(shù)、緊李群等。研究中將涉及的工具和動機(jī)包括特征與特征公式、歸納、限制與張量積，以及與統(tǒng)計(jì)力學(xué)、數(shù)學(xué)物理和幾何學(xué)的聯(lián)系。如果時間允許，可能還會涉及一些關(guān)于環(huán)群、仿射李代數(shù)和Dynkin圖的內(nèi)容。

代數(shù)拓?fù)?MAST90023

這門課程研究拓?fù)淇臻g及其之間的連續(xù)映射。它展示了拓?fù)浞椒ㄔ谔幚砩婕拔矬w形狀和位置以及連續(xù)映射的問題中的強(qiáng)大能力，并說明了拓?fù)淙绾螒?yīng)用于許多領(lǐng)域，包括幾何、分析、群論和物理學(xué)。其目的是通過引入與空間和連續(xù)映射相關(guān)的代數(shù)不變量，將拓?fù)渲械膯栴}簡化為代數(shù)中的問題。研究的重要空間類包括流形(局部歐幾里得空間)和CW復(fù)形(通過將不同維度的單元膠合在一起構(gòu)建而成)。課程內(nèi)容包括：映射的同倫及空間的同倫等價、空間的同倫群、基本群、覆蓋空間;同調(diào)理論，包括奇異同調(diào)理論、Eilenberg和Steenrod的公理化方法以及細(xì)胞同調(diào)。

函數(shù)分析 MAST90020

泛函分析是純數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)領(lǐng)域，在微分方程理論、工程學(xué)和物理學(xué)中有著無數(shù)的應(yīng)用。學(xué)生將接觸到Banach空間理論、對偶空間概念、弱-拓?fù)?、Hahn-Banach定理、選擇公理和Zorn引理、Krein-Milman定理、Hilbert空間上的算子、緊致拓?fù)淙旱腜eter-Weyl定理、無限維正規(guī)算子的譜定理以及與調(diào)和分析的聯(lián)系。

以上就是關(guān)于“墨爾本大學(xué)數(shù)學(xué)碩士課程輔導(dǎo)”的介紹，海馬課堂針對學(xué)生的薄弱科目和學(xué)校教學(xué)進(jìn)度，匹配背景相符的導(dǎo)師，根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細(xì)講解課程中的考點(diǎn)、 難點(diǎn)問題，并提供多方位的課后輔導(dǎo)，輔助學(xué)生掌握全部課程知識，補(bǔ)足短板。