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要討論現(xiàn)代技術,我們首先必須對支撐這些模型的基礎數(shù)學和統(tǒng)計學有扎實的了解。其中一個關鍵的現(xiàn)代領域就是貝葉斯統(tǒng)計。這篇文章可以幫助大家了解貝葉斯方法的 "哲學"、它與傳統(tǒng)/經(jīng)典常模統(tǒng)計方法的比較以及在量化金融和數(shù)據(jù)科學中的潛在應用。
一、什么是貝葉斯統(tǒng)計?
貝葉斯統(tǒng)計是將概率應用于統(tǒng)計問題的一種特殊方法。它為我們提供了數(shù)學工具,讓我們在看到有關隨機事件的新數(shù)據(jù)或證據(jù)時更新我們對這些事件的信念。
具體來說,貝葉斯推理將概率解釋為個人對特定事件發(fā)生的可信度或信心度量。
我們可能對某一事件有先驗的信念,但當新的證據(jù)出現(xiàn)時,我們的信念很可能會改變。貝葉斯統(tǒng)計法為我們提供了一種堅實的數(shù)學手段,將我們的先驗信念和證據(jù)結合起來,從而產(chǎn)生新的后驗信念。
貝葉斯統(tǒng)計為我們提供了數(shù)學工具,使我們能夠根據(jù)新的數(shù)據(jù)或證據(jù),理性地更新我們的主觀信念。
這與另一種形式的統(tǒng)計推斷形成鮮明對比,后者被稱為經(jīng)典或頻繁主義統(tǒng)計,它假定概率是特定隨機事件在長期重復試驗中發(fā)生的頻率。
二、推導貝葉斯法則
假設我們有兩個事件 A 和 B,其中 A 表示某個假設或條件,B 表示一些新的觀察到的證據(jù)。
1. 事件的聯(lián)合概率:
- 聯(lián)合概率 P(A ∩ B) 表示同時發(fā)生事件 A 和事件 B 的概率。
2. 條件概率:
- 條件概率 P(A|B) 表示在已知事件 B 發(fā)生的條件下,事件 A 發(fā)生的概率。
3. 貝葉斯定理表述:
根據(jù)概率的定義,我們有:
P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) (1)
同時,我們也有:
P(B ∩ A) = P(B|A) * P(A) (2)
因為 P(A ∩ B) = P(B ∩ A),所以我們可以將 (1) 和 (2) 相等:
P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)
然后,我們可以解出 P(A|B):
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
這就是貝葉斯定理的表述?,F(xiàn)在,讓我們解釋一下其中的術語:
- P(A|B):后驗概率,表示在觀察到事件 B 后,事件 A 發(fā)生的概率。
- P(B|A):似然,表示在事件 A 發(fā)生的條件下,觀察到事件 B 的概率。
- P(A):先驗概率,表示在沒有任何觀察之前事件 A 發(fā)生的概率。
- P(B):標準化常數(shù),表示觀察到事件 B 的概率。
貝葉斯定理的關鍵是將先驗信息(P(A))和新觀察到的證據(jù)(P(B|A))結合起來,得出更新后的后驗概率(P(A|B))。這使我們能夠在已有信息的基礎上進行更準確的概率估計,適用于許多問題,如分類、預測和參數(shù)估計。
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