線性代數(shù)是關(guān)于線性組合的。也就是說，對(duì)稱為向量的數(shù)字列和稱為矩陣的數(shù)字?jǐn)?shù)組使用算術(shù)，以創(chuàng)建新的列和數(shù)字?jǐn)?shù)組。線性代數(shù)是對(duì)線性變換所需的直線和平面、向量空間和映射的研究。小編帶來了加拿大卡爾加里大學(xué)留學(xué)線性代數(shù)作業(yè)輔導(dǎo)攻略。

1.矢量空間

眾所周知，線性代數(shù)涉及到矢量空間和這些空間之間的線性變換。根據(jù)定義，一個(gè)矢量是一個(gè)既有大小又有方向的物理量。矢量空間被定義為一組被稱為矢量的對(duì)象，它們可以被稱為標(biāo)量的數(shù)字相加和相乘(即縮放)。通常實(shí)數(shù)被認(rèn)為是標(biāo)量，但也有用于標(biāo)量與非實(shí)數(shù)(即復(fù)數(shù))相乘的向量空間，當(dāng)然也有用于任意域的向量。

諸如矢量加法和標(biāo)量乘法等操作必須滿足某些要求，這些要求被稱為矢量公理。通常，術(shù)語實(shí)向量空間和復(fù)向量空間用來表示標(biāo)量是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)。

假設(shè)V是域F上的一個(gè)任意矢量空間，元素為a、b、c，標(biāo)量為m、n，則矢量公理由以下公式定義：

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c

加法常數(shù)：a + 0 = 0 + a = a，其中0是V中的一個(gè)元素，稱為零向量。

加性反元：a+(-a)+(-a)+a=0，a，-a屬于V。

這四條公理將向量空間V定義為加法下的交換者群。

其他公理是標(biāo)量乘法與向量加法和范圍加法的可分離性，以及標(biāo)量乘法的單位元素。

例如：m(a)=ma;n(a+b)=na+nb。

一個(gè)給定的矢量空間的元素可以有不同的屬性。例如，元素可以是序列、函數(shù)、多項(xiàng)式或矩陣。線性代數(shù)關(guān)注的是所有向量空間共同或已知的這類事物的屬性。

對(duì)于F域中的兩個(gè)給定矢量空間(即V和W)，可以寫出一個(gè)線性映射。這有時(shí)被稱為矢量空間的線性變換或映射。因此，它由以下方程給出：

T : V → W

這允許我們寫下元素的標(biāo)量乘法的加法，例如

T(a + b) = T(a) + T(b)

T(ma) = mT(a)

2.線性函數(shù)

線性函數(shù)是一個(gè)代數(shù)方程，其中每項(xiàng)都是一個(gè)常數(shù)或一個(gè)常數(shù)與一個(gè)自變量的乘積的第一次冪。 在線性代數(shù)中，向量被用來構(gòu)成線性函數(shù)。 一些可以重新定義為向量函數(shù)的向量類型的例子。

在數(shù)學(xué)上，一個(gè)線性函數(shù)的定義如下：

一個(gè)函數(shù)L : Rn → Rm是線性的，如果

(i) L(x + y) = L(x) + L(y)

(ii) L(αx) = αL(x)

對(duì)于所有x，y∈Rn，α∈R。

3.算術(shù)線性代數(shù)

數(shù)學(xué)線性代數(shù)也被稱為應(yīng)用線性代數(shù)。應(yīng)用線性代數(shù)關(guān)注的是研究如何利用矩陣運(yùn)算來創(chuàng)建計(jì)算機(jī)算法，幫助有效和準(zhǔn)確地解決連續(xù)的數(shù)學(xué)問題。 在數(shù)值線性代數(shù)中，許多矩陣分解方法被用來尋找常見線性代數(shù)問題的解決方案，如最小二乘優(yōu)化、特征值檢測(cè)和解決線性方程組。數(shù)值線性代數(shù)中的一些矩陣分解方法包括特征值分解、奇異值分解、QR分解等。

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