抽象代數(shù)是一個廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，涉及代數(shù)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、向量空間和矩陣。粗略地說，抽象代數(shù)是研究當數(shù)系的某些屬性被抽象出來時會發(fā)生什么;例如，改變基本算術(shù)運算的定義會產(chǎn)生一種被稱為環(huán)的結(jié)構(gòu)，只要運算是一致的。

一、抽象代數(shù)中的抽象層次

有可能抽象出 "常規(guī) "數(shù)系中的幾乎所有屬性，其代價是所產(chǎn)生的對象--被稱為巖漿(由一個集合和一個二元運算組成，不需要滿足除閉合之外的任何屬性)--太籠統(tǒng)而無趣。在另一個極端，有可能抽象出幾乎沒有任何屬性，這允許找到許多結(jié)果，但所產(chǎn)生的對象(通常的數(shù)字系統(tǒng))太具體，無法解決更普遍的問題。

大多數(shù)抽象代數(shù)致力于在通用性和結(jié)構(gòu)之間取得合理平衡的對象，最明顯的是群和環(huán)(下文將詳細討論)，其中大部分算術(shù)的基本屬性被保留下來，但它們的具體內(nèi)容被自由保留。盡管如此，一些更高層次的抽象偶爾也是有用的;例如，類群與拉丁方塊有關(guān)，單體經(jīng)常用于計算機科學(xué)，是類別的簡單例子。

二、集團理論

群理論作為一個抽象的對稱性概念是很有用的，這使它適用于廣泛的領(lǐng)域：多項式的根之間的關(guān)系(如伽羅瓦理論)和魔方的解法都是突出的例子。

非正式地講，群是一個配備有二元運算的集合 °，因此對群的任何兩個元素進行運算也會產(chǎn)生一個群的元素。例如，整數(shù)在加法下形成一個群，非零實數(shù)在乘法下形成一個群。循環(huán)運算需要滿足一些與這些 "正常 "數(shù)系類似的屬性：它應(yīng)該是關(guān)聯(lián)性的(這基本上意味著運算的順序并不重要)，而且應(yīng)該有一個相同的元素(上面第一個例子中是0，第二個例子中是1)。更正式地說，一個群是一個配備有操作\cdot⋅的集合，使以下公理成立;注意，\cdot⋅不一定是指乘法;相反，它應(yīng)該被視為兩個變量上的函數(shù)(事實上，\cdot⋅甚至可以指加法)：

Group Axioms

1) Associativity. For any x, y, z \in Gx,y,z∈G, we have (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).

2) Identity. There exists an e \in Ge∈G, such that e \cdot x = x \cdot e = xe⋅x=x⋅e=x for any x \in Gx∈G. We say that ee is an identity element of GG.

3) Inverse. For any x \in Gx∈G, there exists a y \in Gy∈G such that x \cdot y = e = y \cdot xx⋅y=e=y⋅x. We say that yy is an inverse of xx.

還值得注意的是閉合公理的強調(diào)，因為在處理子群(完全包含在另一個子群中的群)時，驗證閉合是很重要的：

4) Closure. For any x, y \in Gx,y∈G, x*yx∗y is also in GG.

以上就是關(guān)于美國高校抽象代數(shù)課程輔導(dǎo)的全部內(nèi)容，海馬課堂專業(yè)課程輔導(dǎo)，2100+嚴選碩博學(xué)霸師資，針對學(xué)生的薄弱科目和學(xué)校教學(xué)進度，匹配背景相符的導(dǎo)師，根據(jù)學(xué)生情況進行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細講解課程中的考點、 難點問題，并提供多方位的課后輔導(dǎo)，輔助學(xué)生掌握全部課程知識，補足短板。